procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject); 
var 
  Str: string; 
  F1, F2, F3: TextFile; 
begin 
  Label3.Caption:='Processing...'; 
  AssignFile(F1, Edit1.Text); 
  AssignFile(F2, Edit2.Text); 
  AssignFile(F3, 'new.$'); 
  Reset(F1); 
  Reset(F2); 
  Rewrite(F3); 
  while not(EOF(F1)) do 
  begin 
    Readln(F1, Str); 
    Writeln(F3, Str); 
  end; 
  while not(EOF(F2)) do 
  begin 
    Readln(F2, Str); 
    Writeln(F3, Str); 
  end; 
  CloseFile(F1); 
  CloseFile(F2); 
  CloseFile(F3); 
  DeleteFile(ExtractFileName(Edit1.Text)); 
  RenameFile('new.$', ExtractFileName(Edit1.Text)); 
  DeleteFile('new.$'); 
  Label3.Caption:='Processing done'; 
end;

Zdroj: http://www.delphitricks.com/source-code/files/append_one_file_to_other.html